Fórmulas e Cálculos
Espaço dedicado a apresentação de fórmulas pesquisadas nos livros citados, principalmente no livro Helicopter Performance, Stability, and Control.
Esta seção recebe atualização periódica por meio da inserção de novas fórmulas.
Os cálculos se referem ao modelo apresentado e seguem uma sequência lógica para obtenção do dado seguinte. Os livros seguem uma sequência que induz a pesquisar cada bibliografia por completo para obter o dado de interesse em páginas no início, ou no meio ou no final da bibliografia, isto implica em enorme pesquisa e consequente demora na obtenção dos dados. Além disso, não tenho um professor nessa área para tirar dúvidas, mais uma vez demanda pesquisa em diversas bibliografias para se tirar uma dúvida.
Em 18 anos de pesquisa, observei que não existe na web qualquer tipo de cálculo envolvendo helicópteros. Essa enorme lacuna no conhecimento é reduzida nesta apresentação.
Para se ter uma ideia da dimensão da pesquisa, da fórmula 01 até a 70 desta página, representou a transcrição dos dados do livro Helicopter Performance, Stability, and Control até a página 135 de um total de 668 do livro. Ou seja, até o final dos trabalhos o último cálculo poderá ultrapassar o número 400.
Os dados de cálculos inseridos entre agosto de 2016, data da criação do site, e janeiro de 2017 passaram por revisão geral. Lançamento de novos dados ainda sem previsão para serem colocados neste site.
Foi utilizado nos cálculos o perfil NACA 8-H-12, pois é possível encontrar no Brasil matéria-prima para montagem das pás do rotor principal.
Importante dizer que os dados aqui dispostos tem finalidade didática, por meio de um estudo de caso, baseado em um modelo americano dos anos 1970.
Agradeço a atenção dispensada e fico a disposição para tiragem de dúvidas construtivas. Este site não visa vender nada, muito menos encerrar o assunto. Sendo repetitivo, visa divulgar um trabalho de pesquisa de anos.
***Melhor visualizado em laptop ou PC***
Lista
01 - Área total do disco rotor
A = ¶ . R²
A = 3,14 . (2,89)²
A = 26,22 m² = 282,19 ft
02 - Peso da aeronave
P = m . g
P = 309,4 . 9,81
P = 3035,21 N = 682,07 lb
03 - Carga no disco
DL = m / A
DL = 309,4 / 26,22
DL = 11,80 kg/m² = 2,42 lb/ft²
04 - Velocidade induzida
v1 = 14,5 . (DL)^½
v1 = 14,5 . (2,42)^½
v1 = 22,56 ft/s = 6,87 m/s
05 - Área projetada
Ap = área abaixo do disco rotor
Ap = 1,51 m²
,
06 - Arrasto vertical
Dv = 0,3 . DL . Ap
Dv = 0,3 . 2,42 . 16,27
Dv = 52,55 N = 11,81 lb
07 - Sustentação
T = (1 + (Dv/P)) . P
T = (1 + (11,81/682,07)) . 682,07
T = 693,88 lb = 3.087,76N
08 - Potência ideal
hpi = T . v1 / 550
hpi = 693,88 . 22,56 / 550
hpi = 28,46 hp
09 - Potência ideal
hpi = (T . (DL)^½) / 38
hpi = (693,08 . (2,42)^½) / 38
hpi = 28,41 hp
10 - Potência dissipada pelo rotor
Er/sec = T . v1
Er/sec = 693,88 . 22,56
Er/sec = 15.653,93 ft-lb/s = 21.212,93 J
11 - Velocidade angular do rotor
Ω = ¶ . RPM / 30
Ω = 3,14 . 400 / 30
Ω = 41,87 rad/s
12 - Velocidade tangencial do rotor
Vt = Ω . R
Vt = 41,87 . 2,892
Vt = 121,09 m/s = 396,93 ft/s
13 - Coeficiente de sustentação
CT = T / ρ . A . ( Ω R)²
CT = 693,88 / 0,002377 . 282,19 . (396,93)²
CT = 0,006566
14 - Taxa de solidez do rotor
σ = b . c / ¶ . R
σ = 2 . 0,607 / 3,14 . 9,48
σ = 0,0408
15 - Coeficiente de carga do rotor (Fator CT/σ)
CT/σ = 0,006566 / 0,0408
CT/σ = 0,1609
16 - Ângulo de entrada do vento relativo na ponta da pá
t = arc tg (v1 / Ω R)
t = arc tg (22,56 / 41,81 . 9,48)
t = 3,25º = 0,05692 rad
17 - Coeficiente de lift médio
Cl = 6 . CT/σ
Cl = 6 . 0,1609
Cl = 0,9654
18 - Ângulo de ataque na ponta da pá a = Taxa da Curva de Sustentação
t = Cl / a
t = 0,9654 / 6,15
t = 0,1569 rad = 8,99º
19 - Ângulo de passo da ponta da pá
t = t + t
t = 8,99 + 3,25
t = 12,24º = 0,2138 rad
20 - Sustentação por pá do rotor principal
L = 0,5 . ρ . ( Ω R)² . a . c . R . (( t - t)/2)
L = 0,5 . 0,002377 . (396,93)². 6,15 . 0,607 . 9,48 . ((0,2138 - 0,05692) / 2)
L = 604,58 lb = 2.690,37 N
21 - Número de Reynolds
RN = 6400 . c . V
RN = 6400 . 0,607 . 396,93
RN = 1,5 . pelo site da NASA = 1,7 . (http://airfoiltools.com/calculator/reynoldsnumber)
22 - Coeficiente de arrasto
cd = em função de , tipo de aerofolio (NACA 8-H-12) e RN
cd = 0,0113
Fonte: http://naca.central.cranfield.ac.uk/report.php?NID=2313
23 - Torque do rotor
Q = 0,5 . ρ . (Ω R)² . b . c . R [ a . (( θt - Φt)/2). t + cd/4] . R
Q = 0,5 . 0,002377 . (396,93)² . 2 . 0,706 . 9,48 [6,15 ((0,181 - 0,06128)/2 + 0,073/4] . 9,48
Q = 579,43 ft-lb = 788,2 J (N.m)
24 - Coeficiente de torque
CQ = Q / ρ . A . (Ω R)² . R
CQ = 579,43 / 105681,41 . 9,48
CQ = 0,000578
25 - Potência no rotor
P = Q . Ω
P = 579,43 . 41,87
P = 24.260,73 ft-lb/s = 68,4 KW = 32,53 HP
26 - Coeficiente de potência
Cp = P / ρ . A . (Ω R)³
Cp = 24.260,73 / 0,002377 . 282,19 . (396,93)³
Cp = 0,0005783
27 - Potência induzida
Pi = T . V1
Pi = 693,88 . 22,56
Pi = 15.653,93 ft-lb/s = 21,21 KW
28 - Coeficiente de potência induzida
Cpi = CT . (CT / 2)^0,5
Cpi = 0,006566 (0,006566/2)^0,5
Cpi = 0,0003762
29 - Coeficiente de torque induzido
CQi = Cpi
CQi = 0,0003762
30 - Grau de eficiência (Figura do Mérito)
FM = Cpi / Cp
FM = 0,0003762 / 0,0005783
FM = 0,6505 = 65,05%
31 - Potência requerida no hover
hpc = hpi / FM
hpc = 28,46 / 0,6505
hpc = 43,75 HP
32 - Coeficiente de arrasto
Cd = 0,144 / (RN)^0,2
Cd = 0,144 / (1,541 . 10⁶)^0,2
Cd = 0,008333
33 - Momento de inércia do rotor
Ib = b . M . R² / 3
Ib = 2 . 7,7465 . (2,68)² / 3
Ib = 37,09 kg . m² = 27,47 slug-ft²
34 - Momento resultante da sustentação
Mlift = (2/3) . (CT/ σ ) . Ω ² . ρ . c . R⁴
Mlift = 0,667 . 0,1609 . 41,87² . 0,02377 . 0,607 . 9,48⁴
Mlift = 21.924,97 ft.lb = 29.726,27 N.m
35 - Momento do peso da pá
Mw = (-3/2) . (g/R) . Ib
Mw = (-1,5) . (32,174/9,48) . 27,47
Mw = -139,85 ft.lb = - 189,61 N.m
36 - Equação do cone
a0 = [(ρ . c . R⁴ / Ib) . (2/3) . CT/ σ ] - [Mw/Ib . (Ω)²]
a0 = [(0,002377 . 0,607 . (9,48)⁴ / 27,47) . 0,667 . 0,1609] - [(-139,85/27,47 . (41,87)²)]
a0 = 0,04763 rad = 2,729º
37 - Momento resultante da força centrífuga
Mcf = - a0 . Ω ² . Ib
Mcf = - 0,04763 . (41,87)² . 27,47
Mcf = - 2.293,74 ft.lb = - 3.109,89 N.m
38 - Momento da articulação
Mhinge = Mlift + Mc.f. + Mw
Mhinge = 21.924,97-2.293,74-139,85
Mhinge = 19.481,38 ft-lb = 26.412,85 N.m
39 - Número de bloqueio
ɣ = ρ . a . c . R⁴ / Ib
ɣ = 0,002377 . 6,15 . 0,607 . 9,48⁴ / 27,47
ɣ = 2,6089
40 - Fator de raio efetivo
B = 1 - ((2 . CT)^0,5)/b
B = 0,9431 = 94,31% da pá é realmente utilizada para sustentação
41 - Carga efetiva no disco
DLeff = DL / (B² - x0²)
DLeff =2,42 / ((0,9432)² - (0,1216)²)
DLeff = 2,7670 lb/ft² = 13,51 kg/m²
42 - Velocidade induzida efetiva
v1eff = (DLeff / 2 . ρ) ^ 0,5
v1eff = (2,7670 / 2 . 0.002377) ^ 0,5
v1eff = 24,13 ft/s = 7,36 m/s
43 - Ângulo de entrada do vento relativo na ponta da pá (corrigido para o raio efetivo)
Φtcoor = (CT / 2 (B² - x0²))^0,5
Φtcoor = (0,006566 / 2 (0,9431² - 0,1216²))^0,5
Φtcoor = 0,06079 rad = 3,48º
44 - Ângulo de passo corrigido na ponta da pá
θtcorr = αtcorr + Φtcoor
θtcorr = ((a / 4) . ((CT/σ) / ((B)² - (x0)²) + (CT / (2 (B² - x0²))^0,5))
θtcorr = ((4/6,15) . ((0,1609) / ((0,9431)² - (0,1216)²) + ((0,006566 / (2 ((0,9431)² - (0,1216)²)^0,5)
θtcorr = 0,181 rad = 10,37º
45 - Coeficiente CP/σ
CP/σ = ((CT/σ) . ((CT/(2(B² - x0²)))^0,5)+(cd/8)
CP/σ = ((0,1609) . ((0,006566)/(2(0,9431)² - (0,1216)²))^0,5)+(0,0113/8)
CP/σ = 0,01268
46 - Ângulo de ataque médio
ᾱ = (CT/σ)/(B² - x0²)
ᾱ = (0,1609)/((0,9431)² - (0,1216)²))
ᾱ = 0,1839 rad = 10,53º
47 - Efeito do número de pás sobre o grau de eficiência do rotor principal
b = 2 → FM = 0,832 ou 83,2% de eficiência
b = 3 → FM = 0,900 ou 90,0% de eficiência
b = 4 → FM = 0,910 ou 91,0% de eficiência
b = 5 → FM = 0,920 ou 92,0% de eficiência
b = 6 → FM = 0,923 ou 92,3% de eficiência
48 - Potência induzida da sustentação
PiT = T ((T / 2 . ρ . A) ^ 0,5)
PiT = 693,88 ((693,88 / 2 . 0,002377 . 282,19)^0,5)
PiT = 15.780,88 ft-lb/s
49 - Variação da pressão estática
∆p static = DL = ρ . CT . (ΩR)²
∆p static = 0,002377 . 0,006454 . (396,93)²
∆p static = 2,41 lb/ft² = 11,80 kg/m²
50 - Potência do rotor fora do efeito solo (OGE)
hp OGE = T . v1 OGE / 550
hp OGE = 693,88 . 22,56 / 550
hp OGE = 28,46 hp
51 - Constante da sustentação
v1 IGE / v1 OGE = -0,647 . (z/D)² + 1,1714 . (z/D) + 0,4493, para z/D>0,3821, pois < z possível é 7,2374 ft.
z = altura do rotor ao solo
D = diâmetro do rotor = 18,94 ft
Fonte: Fig. 1.41 - Effect of Ground on Induced Velocities as Determined by Model and Full-Scale Tests.
Prouty, Raymond W. Helicopter performance, stability, and control, Boston, c1986.
52 - Potência do rotor sob efeito solo
hp IGE = (T . v1 OGE / 550) . (v1 IGE/v1 OGE)
Decolagem = esqui no solo = altura do rotor ao solo = 7,24 ft, gera v1 IGE/v1 OGE = 0,80
hp IGE = (693,88 . 22,56 / 550) . (0,80)
hp IGE = 22,77 hp
Esqui a 3 ft do solo = rotor a (7,24 + 3,00) = 10,24 ft
hp IGE = (693,88 . 22,56 / 550) . (0,90)
hp IGE = 25,62 hp
Esqui a 6,21 ft do solo (1,90 m)
hp IGE = (693,88 . 22,56 / 550) . (0,95)
hp IGE = 27,04 hp
Esqui a 11,70 ft do solo (3,57 m)
hp IGE = (693,88 . 22,56 / 550) . (0,975)
hp IGE = 27,75 hp
53 - Fator de perda da ponta da pá (fator do raio efetivo)
B = 1 - (0,06/b), se CT < 0,006, para o helicóptero em questão, CT > 0,006
B = 1 - (((2,27 . CT ) - 0,01)^0,5)/b, se CT > 0,006, o valor exato CT = 0,006454
B = 1 - (((2,27 . 0,006454 ) - 0,01)^0,5)/2
B = 0,966
54 - Velocidade induzida no pairado
v1 hov = (T/(2 . ρ . A))^0,5
v1 hov = (693,88/(2 . 0,002377 . 282,19))^0,5
v1 hov = 22,74 ft/s
55 - Velocidade induzida no voo ascendente
v1 climb = (-Vc/2) + ((-Vc/2)² + (T/(2 . ρ . A))^0,5)
v1 climb = (-16,67/2) + ((-16,67/2)² + (693,88/(2 . 0,002377 . 282,19))^0,5
v1 climb = 15,89 ft/s
56 - Velocidade induzida na descida lenta
VDL = 1000 ft/min = 16,67 ft/s (valor escolhido)
v1 desc L = (16,67/2) + ((16,67/2)² + (693,88/(2 . 0,002377 . 282,19))^0,5
v1 desc L = 32,55 ft/s
57 - Velocidade de descida com vórtex
VDx ≈ 2 . v1 hov
VDx ≈ 2 . 22,74
VDx ≈ 45,48 ft/s
58 - Velocidade induzida no voo descendente rápido
VDR escolhido 2000 ft/min = 33,33 ft/s
v1 desc R = VDR/2 - ((VDR/2)² - (T/2 . ρ . A)^0,5)
v1 desc R = 33,33/2 - ((33,33/2)² - (693,88/2 . 0,002377 . 282,19)^0,5)
v1 desc R = 0,748 ft/s
59 - Potência real
hp act = hpi/FM
hp act = 28,46/0,6505
hp act = 43,75 HP
60 - Pressão dinâmica remota
q2 = 0,5 . ρ . v2² = DL
q2 = 0,5 . 0,002377 . (45,12)²
q2 = 2,4196 lb/ft² = 11,8 kg/m²
61 - Braço do momento do rotor de cauda
lT = centro do rotor principal até o rotor de cauda
lT = 11,04 ft = 3,365 m
62 - Empuxo necessário no Rotor de Cauda (força antitorque)
TT = 550 . (hpM/(ΩR)M) . (RM/lT)= QM/lT
TT = 579,43/11,04
TT = 52,484 lb = 233,46 N = 23,81 kgf
63 - Velocidade de voo para frente (de 10 a 100 km/h)
V01 = 10 Km/h = 2,78 m/s = 9,12 ft/s
V02 = 20 Km/h = 5,56 m/s = 18,24 ft/s
V03 = 30 Km/h = 8,33 m/s = 27,36 ft/s
V04 = 40 Km/h =11,11 m/s = 36,48 ft/s
V05 = 50 Km/h =13,89 m/s = 45,60 ft/s
V06 = 60 Km/h =16,67 m/s = 54,72 ft/s
V07 = 70 Km/h =19,44 m/s = 63,84 ft/s
V08 = 80 Km/h =22,22 m/s = 72,96 ft/s
V09 = 90 Km/h =25,00 m/s = 82,08 ft/s
V10 =100 Km/h =27,78 m/s = 91,20 ft/s
64 - Razão da velocidade na ponta da pá do rotor principal
μ = V/ΩR
μ01 = 9,12/396,93 = 0,022976
μ02 = 18,24/396,93 = 0,045953
μ03 = 27,36/396,93 = 0,068929
μ04 = 36,48/396,93 = 0,091905
μ05 = 45,60/396,93 = 0,114882
μ06 = 54,72/396,93 = 0,137858
μ07 = 63,84/396,93 = 0,160834
μ08 = 72,96/396,93 = 0,183811
μ09 = 82,08/396,93 = 0,206787
μ10 = 91,20/396,93 = 0,229763
65 - Área plana equivalente
f = 5 ft² = 1,524 m²
Valor típico para pequenos helicópteros, conforme Helicopter Performance, Stability, and Control, p. 132
66 - Ângulo de ataque do disco rotor
α TPP = - 57,3 . (f/Ab) . ((μ²/2)/(CT/σ))
α TPP = -57,3 . (5/13,37) . ((μ²/2)/(0,1609))
α TPP = -66,59 . μ²
α TPP 01 = -66,59 . (0,022976)² = -0,03515º = -0,000613 rad
α TPP 02 = -66,59 . (0,045953)² = -0,14062º = -0,002454 rad
α TPP 03 = -66,59 . (0,068929)² = -0,31638º = -0,005521 rad
α TPP 04 = -66,59 . (0,091905)² = -0,56245º = -0,009815 rad
α TPP 05 = -66,59 . (0,114882)² = -0,87884º = -0,015337 rad
α TPP 06 = -66,59 . (0,137858)² = -1,26553º = -0,022086 rad
α TPP 07 = -66,59 . (0,160834)² = -1,72252º = -0,030061 rad
α TPP 08 = -66,59 . (0,183811)² = -2,24984º = -0,039264 rad
α TPP 09 = -66,59 . (0,206787)² = -2,84744º = -0,049693 rad
α TPP 10 = -66,59 . (0,229763)² = -3,51535º = -0,061349 rad
67 - Arrasto
D = -GW . α TPP
D01 = -682,07 . (-0,000613) = 0,418 lb
D02 = -682,07 . (-0,002454) = 1,673 lb
D03 = -682,07 . (-0,005521) = 3,765 lb
D04 = -682,07 . (-0,009815) = 6,694 lb
D05 = -682,07 . (-0,015337) = 10,461 lb
D06 = -682,07 . (-0,022086) = 15,064 lb
D07 = -682,07 . (-0,030061) = 20,503 lb
D08 = -682,07 . (-0,039264) = 26,781 lb
D09 = -682,07 . (-0,049693) = 33,894 lb
D10 = -682,07 . (-0,061349) = 41,844 lb
68 - Pressão dinâmica
q = D/f = 0,5 . ρ . V²
q01= 0,418/5 = 0,084 lb/ft²
q02 = 1,673/5 = 0,334 lb/ft²
q03 = 3,765/5 = 0,753 lb/ft²
q04 = 6,694/5 = 1,339 lb/ft²
q05 = 10,461/5 = 2,092 lb/ft²
q06 = 15,064/5 = 3,013 lb/ft²
q07 = 20,503/5 = 4,101 lb/ft²
q08 = 26,781/5 = 5,356 lb/ft²
q09 = 33,894/5 = 6,779 lb/ft²
q10 = 41,844/5 = 8,369 lb/ft²
69 - Potência necessária pelo rotor principal
hpM = QM . Ω / 550
hpM = 579,43 . 41,87 / 550
hpM = 44,11 hp
Obs: este cálculo serve para helicóptero sem estabilizador vertical, como é o nosso caso.
70 - Coeficiente de arrasto do rotor de cauda
cd (pelo gráfico p. 463, livro Teory of Wing Sections, com RN=1,8. 10^6 e NACA 0012)
cd varia de 0,006 a 0,016, usar o maior valor, ou seja, cd = 0,016
71 - Potência induzida no rotor de cauda
V = 50 km/h = 45,60 ft/s
hp ind T = TT² / 1100 . ρ . AT . V
hp ind T = (52,484)² / 1100 . 0,002377 . 9,72 . 45,60
hp ind T = 2,38 hp
72 - Razão da velocidade na ponta da pá do rotor de cauda
μT = V/ΩR
μ01T = 9,12/368,405 = 0,0248
μ02T = 18,24/368,405 = 0,0495
μ03T = 27,36/368,405 = 0,0743
μ04T = 36,48/368,405 = 0,0990
μ05T = 45,60/368,405 = 0,124
μ06T = 54,72/368,405 = 0,149
μ07T = 63,84/368,405 = 0,173
μ08T = 72,96/368,405 = 0,198
μ09T = 82,08/368,405 = 0,223
μ10T = 91,20/368,405 = 0,248
73 - Potência total dissipada pelo arrasto das pás do rotor de cauda
hp (O+H)T = [ρ . AbT . (ΩR)³T . (cd/8) . (1 + 3 . μT²)] / 550
hp (O+H)T = [0,002377 . 9,72 . (368,405)³ . (0,016/8) . (1 + 3 . μT²)] / 550
hp (O+H)T = 4,2 + 12,6 . μT²
